連載「単純な規則から模様が出る」

公開順に読み進められる連載です。

1. パーコレーションの相転移を実測する。占有率1.5ポイントの差で貫通確率が0%から100%に跳ぶ

   2次元格子のサイトパーコレーションで「つながるか、つながらないか」の相転移を実測した。格子を64から1024まで大きくすると転移は崖になり、臨界点の実測値は理論値0.5927と誤差0.0003以内で一致。臨界点だけでクラスタサイズ分布がべき則に乗ることも確認した。

2. ライフゲームの初期密度を6倍変えても、行き着く密度は同じだった。違うのは「落ち着くまでの時間」だけ

   コンウェイのライフゲームで初期密度を0.02から0.95まで振り、2000世代後の生存密度を実測した。初期密度0.12〜0.70という6倍の幅がすべて密度0.033〜0.038に収束し、変わるのは落ち着くまでの世代数だけだった。10,000世代まで回したときの減り方、灰の組成、1セルの違いが広がる速さも測っている。

3. 「縞を作れ」と一度も書いていない式から縞が出てくる。チューリングパターンを実装して、拡散の速さを揃えたら模様は消えた

   Gray-Scottモデルの反応拡散方程式を実装し、供給率Fと除去率kを42通り振って相図を作った。模様が出たのは17通りだけで、残りは一様に埋まるか消滅する。そして2物質の拡散係数を同じにすると模様の面積は0.00%になり、比を上げるほど模様が育った。チューリングが1952年に予言した「拡散が不安定を生む」条件を実測した記録。

4. ランダムに撒いた400点を「自分の縄張りの重心」へ動かし続けたら、六角形の割合が31.4%から69.2%になった

   ボロノイ図とLloyd法(ボロノイ緩和)を実装し、ランダムな400点を40回動かしてセル面積のばらつきが0.540から0.108へ、六角形の割合が31.4%から69.2%へ変わる様子を実測した。点をいくら増やしても1セルあたりの平均辺数が6を超えないこと、距離の定義を変えたときの縄張りの形も測っている。

5. ペンローズ・タイルは1,500通りの平行移動でも90.53%しか重ならなかった。周期格子は100%

   2種類の三角形を同じ規則で割り続けるだけでペンローズ・タイルを生成し、個数比が黄金比φに8桁一致すること、頂点配置の回折パターンで10次の対称が最強になること、そして1,500通りの平行移動を試しても最良で90.53%しか重ならない(周期的な三角格子は100%)ことを実測した記録。