「縞を作れ」と一度も書いていない式から縞が出てくる。チューリングパターンを実装して、拡散の速さを揃えたら模様は消えた

動物の体表の模様——ヒョウの斑点、シマウマの縞、フグの迷路模様——がどうやって決まるのかを、アラン・チューリングが1952年に提案した仕組みで説明できる、という話がある。「チューリングパターン」と呼ばれている。

驚くのはその仕組みの素っ気なさだ。2種類の物質があって、互いに反応しながら、それぞれの速さで拡散する。それだけ。どこにも「縞を作れ」とも「斑点にしろ」とも書いていない。

今回実装したのはGray-Scottモデルという反応拡散系だ。

$\frac{\partial u}{\partial t} = D_u\nabla^2 u - uv^2 + F(1-u), \qquad \frac{\partial v}{\partial t} = D_v\nabla^2 v + uv^2 - (F+k)v$

$u$ が供給される材料、$v$ が $u$ を食べて増える物質。$F$ が $u$ の供給率、$k$ が $v$ の除去率。この2つの数字を変えるだけで、出てくる模様がまるで変わる。

実験に使ったコードの全文はGitHubに置いています。

中央にひとしずく落とす

真ん中に $v$ を少し置いて、あとは式に任せる。

ひとしずくが広がって、分裂して、迷路になる。この過程に外から与えた情報は「中央に少し置いた」ことだけだ。

FとKを42通り振る

$F$ を7段階、$k$ を6段階に振って、それぞれ9,000ステップ回した。

42通りのうち、模様と呼べるものが出たのは 17通りだけだった。16通りは高濃度が全面に広がった一様な状態、9通りは $v$ が死に絶えて何も残らない。

模様が出る領域は、$F$-$k$ 平面の中の細い帯に限られている。生き物の模様が「なんとなくできる」ものではなく、パラメータがある範囲に入っていないと成立しないことが、絵として見える。

代表例を大きく描くとこうなる。

F	k	主波長	塊の数	面積
0.030	0.055	12.6	16	33.0%
0.022	0.051	12.7	104	17.0%
0.038	0.061	11.7	58	33.4%
0.026	0.058	12.3	427	19.5%
0.034	0.065	14.4	81	3.8%

見た目はまるで違うのに、空間フーリエ変換で測った主波長は11.7〜14.4格子とほとんど同じだった。塊の数は16個から427個まで26倍も違うのに、縞と縞の間隔はどれもほぼ12格子。

今回選んだ5例では、主波長の違いより形の違いが目立った。ただし $F$・$k$ も反応速度を変えるパラメータなので、波長に影響しないと一般化はできない。

自分で $F$・$k$ を選んで見比べられるようにした。

拡散の速さを揃えると、模様は消える

チューリングの1952年の主張の核心は、「反応があるだけでは模様はできない。拡散が加わることで不安定になる」という点にある。典型的な2成分の活性化・抑制モデルでは、拡散速度の差がその条件に関わる。ただしGray-Scott系の模様には有限の初期刺激から成長する非線形なパターンもあり、今回の観察だけで古典的なTuring不安定性を確認したとは言えない。Pearsonの原論文も、この系の多様な時空間パターンを扱っている。

これは実験で確かめられる。$F$・$k$・初期値・乱数をすべて固定したまま、拡散係数の比 $D_u/D_v$ だけを変えた。

$D_u/D_v$	模様の面積
1.0	0.00%
1.1	0.20%
1.5	5.83%
2.0	32.05%
3.0	42.53%
4.0	43.09%

比が1.0、つまり2つの物質が同じ速さで広がるとき、模様はまったくできなかった。 反応の式は何ひとつ変えていない。変えたのは「どちらが速く広がるか」だけだ。

比を上げていくと、1.5あたりから模様が立ち上がり、2.0で一気に育ち、3.0以上で頭打ちになる。模様が出た条件で比べると、主波長は比1.5の23.0格子から、2.0で12.7格子、4.0で7.6格子へと細かくなっていった。

(2026-10-10 訂正: 公開時は「主波長は53.3格子から7.6格子へ」と書いていました。53.3は模様が消えた比1.0の実行の値で、160格子の盤面でこの測り方が返せる最長の波長(160/3)にあたります。模様の間隔ではないので、模様が出た条件だけで書き直しました。)

まとめ

• Gray-Scottモデルを実装し、$F$・$k$ を42通り振ったところ、模様が出たのは17通り。16通りは一様に埋まり、9通りは消滅した
• 見た目が違う模様でも主波長は11.7〜14.4格子とほぼ同じ。塊の数は16個から427個まで26倍違うのに
• 拡散係数の比を1.0にすると模様の面積は0.00%。反応の式を変えずに、広がる速さの差だけで模様の有無が決まる
• 比を上げると模様が育ち(2.0で32%)、3.0以上で頭打ち。模様が出た条件では、波長は23.0から7.6へ細かくなる

「縞を作れ」と書かれていない式から縞が出てくる、という話は本当だった。ただしそれは、今回調べた格子・初期値・計算時間では、模様が出る $F$・$k$ の範囲は限られ、拡散比を1にした条件では模様を観測できなかった。すべての反応拡散系に対する必要十分条件ではない。

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42通り試して、25通りは何も起きなかった。引っかかったのはそちらのほうだ。

チューリングパターンの話は、たいてい成功例の絵と一緒に紹介される。ヒョウの斑点、フグの迷路、貝殻の縞。私も知識としてはそこまで知っていた。だが実際に $F$ と $k$ を振ってみると、大半の設定では全面が一様に埋まるか、あっさり消えるかのどちらかだ。

生き物の模様が「反応拡散で説明できる」というのは、裏返せば、そのパラメータが狭い範囲に収まるように何かが調整されている、ということでもある。仕組みが単純であることと、それが機能する条件がゆるいことは、まったく別の話だった。

きれいな絵だけを見て仕組みを理解した気になっていたのは、42枚のうち17枚しか見ていなかったからだと思う。