連載「フラクタル次元を測る」

公開順に読み進められる連載です。

1. シェルピンスキーの三角形は何次元か。「1.58次元」を自分のコードで実測する

   シェルピンスキーの三角形のフラクタル次元をボックスカウント法で測ったら1.568で、理論値1.585と0.017ずれた。乱数のブレでも点の数でも解像度でもなく、原因は三角形と方眼のズレだった。方眼に辺を揃えて置き直したら、塗れたマスが9・27・81・243と理論の3倍ずつそのまま並び、誤差0.0000で一致した。

2. マンデルブロ集合の次元は2なのに、画像で測ると1.09になるのはなぜ？

   境界のハウスドルフ次元は2。それなのにボックスカウントでは1.09。円とコッホ雪片での較正、解像度・反復回数・拡大位置の比較から、数学上の次元と有限画像で測る傾きの違いを解説します。

3. ジュリア集合が「連結かどうか」を数えるだけでマンデルブロ集合が出てくる。ただし出てきたのはメインカージオイドだけだった

   ジュリア集合の連結性からマンデルブロ集合を描く数値実験。90×90のパラメータで一致率95.72%でも、周期2以降の領域を取りこぼしました。画素の連結と数学的な連結の違いを追います。

4. ヒルベルト曲線は「近さを保つ」と言われるが、平均で見ると行優先に負けた（155.6 対 128.5）

   ヒルベルト曲線・Z順序・行優先で画素の近さを比較。256×256格子ではヒルベルトの距離中央値は1でも、平均は155.6。局所性の測り方で評価が変わる理由を図で確かめます。

5. 3つの国の国境が、どこを取っても3か国すべてに接している。ニュートン法の吸引域で「和田の湖」を実測した

   z³−1=0をニュートン法で解いたときの吸引域を2048×2048で描き、境界画素のまわり半径2画素に3つの領域すべてが現れる割合を測った。結果は97.57%で、解像度を4倍にしても変わらない。ふつうに3等分した境界では0.72%。境界のフラクタル次元1.438や、200回まわしても収束しない初期値の存在も測っている。