直線は1次元、平面は2次元。次元とは整数である——と、特に疑ったことがなかった。でもフラクタルの世界には「1.58次元」のような中途半端な次元を持つ図形が存在するという。有名なシェルピンスキーの三角形だ。

次元が整数でないとはどういうことか。そして、その「1.58」は本当に測れるのか。理屈を読むだけでは腑に落ちなかったので、生成から測定まで全部自分のコードでやってみた。

カオスゲーム: サイコロを振るだけで三角形が生まれる

シェルピンスキーの三角形の生成法として、一番不思議なのが「カオスゲーム」だ。ルールはこれだけ。

1. 三角形の頂点を3つ決める
2. 適当な点から出発する
3. サイコロで頂点をランダムに1つ選び、今の点とその頂点の中点に移動して、点を打つ
4. 3を延々繰り返す

完全にランダムな手続きなのに、点を打ち続けるとこうなる。

200万点打った。乱数で動き回っているだけの点が、なぜか整然とした入れ子模様を描く。どの点も「穴」の領域には決して入れない(中点移動というルールが、穴に入る軌道を持たない)ためで、ランダムさは模様を壊すのではなく、模様の上をまんべんなく訪れるための手段になっている。

できあがった三角形は、どこまで拡大しても同じ模様が現れる。

box-counting: 次元を「測る」方法

次元を測るとはどういうことか。box-counting法の考え方はシンプルで、図形を大きさ$\varepsilon$のマス目で覆ったとき、図形がかかるマスの数$N(\varepsilon)$がどう増えるかを見る。

• 直線: マスを半分にすると、かかるマスは2倍になる → $N \propto (1/\varepsilon)^1$ → 1次元
• 塗りつぶした正方形: マスを半分にすると4倍 → $N \propto (1/\varepsilon)^2$ → 2次元
• つまり $N(\varepsilon) \propto (1/\varepsilon)^D$ の指数$D$が次元の正体だ

log-logプロットの傾きとして$D$を実測できる。シェルピンスキーの三角形は「半分のスケールにすると自分のコピーが3個」なので、理論値は$D = \log 3 / \log 2 \approx 1.585$になるはずだ。

検証のため、答えの分かっている図形(直線・塗りつぶし正方形)と、別のフラクタル(コッホ曲線、理論値$\log 4/\log 3 \approx 1.262$)も一緒に測った。

結果: 1.568 (理論値1.585)

4×4から256×256までのマス目で数え上げ、log-logプロットの傾きを最小二乗で求めた。

図形	実測	理論	誤差
直線	0.970	1.000	0.030
塗りつぶし正方形	1.939	2.000	0.061
コッホ曲線	1.255	1.262	0.007
シェルピンスキー	1.568	1.585	0.017

シェルピンスキーの三角形は、確かに1と2の間にいた。マス目を細かくしていくと、直線より速く、平面より遅くマスが増えていく。「線で描かれているのに、線よりは平面寄りの埋まり方をする」という中間的な存在であることが、傾きという形でそのまま数字になる。

どの実測値も理論よりわずかに小さいのは正直に書いておく。点の数もマス目の細かさも有限なので、細かいスケールでは図形の「隙間」を拾いきれずにマスの増え方が鈍るためだ。box-countingは、どのスケール範囲で傾きを取るかで値が動く——「次元を測る」という行為自体が、思ったよりも測定条件と交渉する作業だった。

手を動かして意外だったこと

一番不思議だったのはやはりカオスゲームだ。決定的な設計図なしに、ランダムな反復だけで恐ろしく規則的な構造が生まれる。「ランダム=無秩序」という直感は、ルール付きのランダムには通用しない。ランダムさはむしろ、アトラクタ(この場合は三角形)の全体を偏りなく塗るための、優秀な絵筆として働いていた。

そして「次元が測れる」こと自体の面白さ。次元とは部屋の縦横高さのような所与のものではなく、スケールを変えたときに情報量がどう増えるかという応答特性だった。そう捉え直すと、海岸線の長さが測る物差しの細かさで変わる話(海岸線パラドックス)も、同じ現象の別の顔だと分かる。複雑さは「量」ではなく「スケーリングの仕方」に宿る。

仕事の複雑さも似たところがある。遠目には単純に見えるのに、ズームするたびに同じ密度でタスクが湧いてくるプロジェクトがある。あれはたぶん1次元の仕事ではなくて、1.5次元くらいの仕事なのだ。どこまで拡大しても構造が尽きないものに対しては、「全部数え上げてから着手する」戦略は原理的に破綻する。スケーリングの指数を見積もって、どの解像度で切り上げるかを決める方が正しい。

まとめ

• カオスゲーム(頂点をランダムに選んで中点へ移動)を200万回繰り返すと、シェルピンスキーの三角形が浮かび上がる——ランダムな手続きが決定的な模様を描く
• box-counting法(マス目を細かくしたときの占有マス数の増え方)で次元を実測: シェルピンスキー1.568(理論1.585)、コッホ曲線1.255(理論1.262)、検証用の直線0.970・正方形1.939
• 次元とは「スケールを半分にしたとき情報量が何倍になるか」の指数であり、整数である必然性はない
• 実測値は理論よりわずかに小さく出る(有限の点数・解像度の限界)。次元測定はスケール範囲の選び方と切り離せない

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