連載「多様体学習の実験」

公開順に読み進められる連載です。

1. くるくる巻いたデータを、PCAは平らにできなかった。多様体学習(Isomap)がスイスロールを"展開"する様子を見てみた

   多様体学習(Isomap)とPCAの違いを、スイスロールデータの次元削減で比較した実験記録。PCAでは絶対に展開できない渦巻き構造を、測地線距離を使うIsomapは相関0.992で平らに開いた。回せる3D可視化つき。

2. 多様体学習(Isomap)は穴あきスイスロールで壊れるのか。「数字は無事なのに、地図は歪む」を見た

   多様体学習(Isomap・LLE・t-SNE)の頑健性を、穴を開けたスイスロールで検証した記録。相関係数は0.99前後で無傷なのに、埋め込みの見た目は手法ごとにまったく別物になる。評価指標が何を見ていないかを示した実験。

3. 三つ葉結び目は、t-SNEにほどけるのか。Isomapが完璧にほどき、たった1本の偽のつながりで壊れた

   三つ葉結び目(trefoil knot)をt-SNE・UMAP・Isomapで次元削減し、位相的に円と同じこの図形がほどけるかを検証した記録。多様体学習が扱えるものと扱えないものの境界を可視化した。

4. メビウスの輪には裏表がない。次元削減で平らに広げたら、どこかを潰すしかなかった

   メビウスの輪(向き付け不可能な面)を次元削減で平面に展開した記録。原理的に不可能な要求に対し、Isomapは帯の幅を14%まで潰すことで帳尻を合わせていた。位相の制約がアルゴリズムの出力に現れる様子を定量化。

5. クラインの壺は4次元なら交差しない——と言われても信じられないので、4次元座標を持たせて実測した

   クラインの壺を4次元座標(x,y,z,w)でパラメトリックに生成し、「3次元では必ず自己交差するが4次元なら交差しない」を数値で検証。3次元射影では表面上遠い点対の距離が0.035まで落ち、4次元のままなら1.35で下げ止まる。次元削減・トーラスとの対照実験つき。

6. メビウスの輪にフタをすると「射影平面」になる。ボーイ曲面を実装したら、三重点がただ1つ現れた

   メビウスの輪の縁に円板を貼ると実射影平面になる——この構成をBryant-Kusnerのボーイ曲面で実装し、貼り合わせの連続性・三葉プロペラ状の自己交差・三重点を数値で検証。次元削減では「ひねって作った帯」と「貼って作った帯」でアルゴリズムの壊れ方が変わることを発見した。

7. テセラクトの影で何が失われるか。4次元超立方体を2次元に潰したら、PCAがランダム射影200本の全部に負けた

   テセラクト(4次元超立方体)の4D→3D→2D射影で失われる情報を定量化した記録。透視投影の辺長歪み(65%〜150%)、次元削減4手法のstress比較、次元を上げたときの劣化、そしてwを含む4次元回転だけが「伸び縮み」に見える理由を実測した。