連載「多様体学習の実験」

公開順に読み進められる連載です。

1. くるくる巻いたデータを、PCAは平らにできなかった。多様体学習(Isomap)がスイスロールを"展開"する様子を見てみた

   3次元にロールケーキ状に巻かれた「スイスロール」データセットに対して、PCA・Isomap・LLE・t-SNEを実際に試し、線形手法のPCAがなぜ失敗するのか、Isomapがどうやって巻きをほどいて2次元に展開するのかを、3Dアニメーションで確かめてみた

2. ロールケーキに穴を開けたら、優等生のIsomapは壊れるのか。「数字は無事なのに、地図は歪む」を見た

   前回スイスロールをほぼ満点(相関0.992)で展開したIsomapに、意地悪をしてみた。シートの真ん中に円形の穴を開けて、測地線の迂回がどれだけ展開を歪めるかをIsomap・LLE・t-SNEで比較。評価指標の相関はどの手法もほぼ無傷なのに、埋め込みの幾何は三者三様に壊れていた——「1つの数字で無事を判断する危うさ」を多様体学習でも見ることになった実験記録

3. 三つ葉結び目は、t-SNEにほどけるのか。Isomapが完璧にほどき、たった1本の偽のつながりで壊れた

   3D空間で結ばれた三つ葉結び目の点群を、PCA・Isomap・t-SNE・UMAPで2次元に展開してみた。結び目は位相的にはただの輪──内在的な距離だけを見れば円にほどけるはずだ。結果、Isomapは完璧な虹色の輪にほどき、t-SNEは輪を3つの弧に引きちぎり、UMAPは粉砕した。さらに糸を太らせて交差部に「偽のつながり」を作っていくと、たった1本のショートカットで復元が揺らぎ、12本で輪が崩壊する——位相構造の脆さを定量的に見た実験

4. メビウスの輪には裏表がない。次元削減で平らに広げたら、どこかを潰すしかなかった

   多様体学習シリーズ第4弾は「向き付け不可能な面」。半回転ひねった帯(メビウスの輪)を、Isomap・LLE・t-SNEで2次元に展開してみた。ひねり0回のただの帯なら綺麗に広がるのに、メビウスでは平面上で「表と裏が入れ替わる継ぎ目」が必ず生まれる。しかも重なりは一切作らずに——代わりに帯の幅を14%まで潰していた。「平面には収まらない」という位相の制約が、アルゴリズムの出力にどう現れるかを定量化した記録