1963年、数学者スタニスワフ・ウラムは退屈な講演の最中に落書きをしていた。方眼紙に1, 2, 3, … と渦巻き状に数を書き、素数に丸をつけていった。すると、丸が斜めの線に並んで見えた。

素数の並びには規則がないはずだ。だから、渦巻きに並べて斜めの筋が見えるというのは、それだけで妙な話になる。

ただ、こういう「模様が見える」話は疑ってかかったほうがいい。人間は無地の壁にも顔を見つける。本当に線があるのか、それとも私がそう見たいだけなのか。同じ密度でランダムに撒いた対照群と比べれば決着がつく。

実験に使ったコードの全文はGitHubに置いています。

まず、並べてみる

$501 \times 501$、つまり1から251,001までを渦巻きに並べた。この範囲の素数は22,131個、密度8.81%。

点の数はほぼ同じだ。それでも上には斜めの筋があり、下にはない。目視の段階でもう決着がついている気がするが、数えてみる。

サイズを大きくしていくと、筋が育っていく様子が見える。

自分で拡大したりホバーして数を確かめられるようにもした。

直線ごとの素数密度を数える

横・縦・右下がり対角・右上がり対角の4方向について、すべての直線上の素数の割合を計算し、その最大値を取る。同じことを「同じ密度でランダムに撒いた盤」200枚に対しても行って比較した。

向き	実測の最大	ランダム200回の最大
横	17.17%	14.37%
縦	18.16%	15.17%
右下がり対角	40.29%	26.83%
右上がり対角	37.31%	29.27%

全体の素数密度は8.81%。横と縦でも最大17〜18%になるが、ランダム対照でも14〜15%までは出る。明確に差がついたのは対角線だけだった。

ここで警戒すべき点がひとつある。短い直線ほど「たまたま濃い」が起こりやすい。40.29%を出したのは長さ139の線だった。長い線だけで比べたらどうか。

対角線の長さ	最も濃い線の素数率
40〜150	40.3%（長さ139）
150〜300	39.4%（長さ249）
300〜501	39.3%（長さ443）

長さで区切ってもほとんど変わらない。そして長さ300以上の対角線に限って対照実験をやり直すと、ランダムの最大は200回で15.46%。実測の39.28%には200回中0回しか近づかなかった。

斜めの線は本物だ。

なぜ斜めなのか

濃かった対角線(長さ443)の上に並ぶ数を取り出すと、249943, 247947, 245959, 243979, 242007, … となる。階差を2回取ると8で一定(1箇所の継ぎ目を除く)。つまりこの線の上には、$4n^2 + bn + c$ という形の2次式の値が並んでいる。

渦巻きの構造上、対角線を1歩進むごとに数が $4n$ ずつ増えていくので、対角線とは2次式そのものになる。だから「斜めの線が濃い」は、「ある2次式が素数を出しやすい」という主張と同じことを言っている。

2次式が素数を出しやすくなる理由は難しくない。$n^2+n+41$ のような式は、小さい素数で割り切れないように係数が選ばれていれば、候補から一気に合成数が消える。逆にたとえば $n^2+n+2$ はすべて偶数なので素数は出てこない。素数を作る式ではなく、合成数を避ける式というのが実態に近い。

オイラーの多項式は本当に強いのか

素数を出しやすい2次式として最も有名なのが、オイラーが1772年に見つけた $n^2+n+41$ だ。実際に測った。

$n$ の範囲	$n^2+n+41$ が素数の割合	最初に素数でなくなる $n$
0〜39	100.00%	なし
0〜99	86.00%	40
0〜999	58.10%	40
0〜9999	51.05%	40

$n=0$ から39まで、40個すべてが素数。41で崩れる($41^2+41+41 = 41 \times 43$ なので当然だが)。それでも $n$ を1万まで伸ばして51.05%が素数のままだ。同じ大きさ(5,000万前後)の数がランダムに素数である確率はおよそ5.64%なので、9倍濃い。

そして $c$ を1から999まですべて試すと、$c=41$ が58.10%で断然のトップだった(2位は $c=941$ の46.50%)。250年前に見つかった41は、いまブルートフォースで探し直しても最良のままだった。

まとめ

• $501 \times 501$ のウラムの螺旋で、対角線の最大素数率は40.29%(全体密度8.81%)
• 同じ密度のランダム対照200回では、対角線の最大は26.83%止まり
• 長さ300以上の対角線に限ると、実測39.28%に対しランダムの最大は15.46%。200回中0回しか届かない
• 濃い対角線の上には $4n^2+bn+c$ の値が並んでいる。「斜めの線」は「素数を出しやすい2次式」の言い換えだった
• $n^2+n+41$ は $n=0$〜39で全部素数、$n$ を1万まで伸ばしても51.05%。$c$ を1〜999で全探索しても41が最良

---

斜めの線は、素数の性質ではなく「渦巻きに並べたことの性質」だった。

素数の分布そのものに斜めの構造があるわけではない。渦巻きに並べると対角線が2次式になり、2次式の中には合成数を効率よく避けるものがある。だから濃く見える。並べ方を変えれば線も消える。

見えた模様が本物かどうかは、対照群を作れば決着がつく。今回は200枚のランダム盤が15.46%までしか届かず、実測は39.28%だったので、模様は本物だと言い切れた。だが本物であることと、それが対象の性質であることは別だった。線は確かにそこにあって、しかもそれは私が渦巻きを選んだから生まれていた。

データに模様を見つけたとき、次に確かめるべきなのは「偶然か」だけではない。「それは対象の性質か、それとも私の並べ方の性質か」のほうも同じくらい効いてくる。

• 実践記
• 確率・統計

関連記事

• クイックソートに「並べ替え済みの配列」を食わせたら、比較回数がバブルソートと1回も違わなかった
• ライフゲームの初期密度を6倍変えても、行き着く密度は同じだった。違うのは「落ち着くまでの時間」だけ
• シェルピンスキーの三角形は何次元か。「1.58次元」を自分のコードで実測する

このブログでは、機械学習の仕組みを実際にコードで実装して確かめた実験をテーマ別に整理しています（拡散モデル・Transformer・強化学習・多様体学習・過学習など）。