ペンローズ・タイル・ジェネレーター

凧と矢(P2)やひし形(P3)のペンローズ・タイルを、2種類の三角形を割り続ける方法で作れます。色や線の太さを変え、マッチング規則の円弧を表示し、タイルの辺の長さをmmで指定してSVGやPNGで保存できます。

5
0°
2%

保存されるのは、プレビューの枠に見えている範囲です。壁・キルト・板を覆う大きさになるまで移動と拡大縮小をしてから保存してください。ペンローズ・タイルには繰り返しの単位がないため、継ぎ目なく並べられる1枚はありません。必要な広さを1つの枠で書き出してください。

凧—
矢—
縁にある半分のタイル—
2種類の三角形の比—
φとの差—

細分ごとの三角形の個数

1行ごとに細分の規則を1回多く適用しています。ひし形(P3)を太陽から始めると、記事の表と同じ行になります。

細分回数36°の三角形108°の三角形2種類の三角形の比φとの差

模様を測る

どちらの計算も、選んでいる種類のタイルを太陽から10回細分したパッチで、いまの表示の中心に近い頂点を使います。

回折パターン

2,000個の頂点についてexp(−ik·r)を足し合わせた強度を、対数で表示します。下の棒は、像を360°/mだけ回したときにどれだけ同じ形に戻るかの強さです。

ずらすと自分自身に重なるか

ペンローズ・タイルの頂点:最もよく重なった割合 —
三角格子:最もよく重なった割合 —

平行移動は、中心に最も近い頂点から、その近くにある1,500個の頂点へのベクトルです。重なりは、ずらした後に別の頂点とぴったり重なる頂点の割合です。

設定の意味

「細分回数」を1増やすと、どの三角形も2〜3個に分かれ、タイルの辺は1/1.618倍になります。「出発点」は太陽(36°の三角形10枚)、星(108°の三角形10枚)、タイル1枚から選べます。「線の太さ」はタイルの辺に対する割合で、「タイルの辺(mm)」は保存するファイルでの辺の長さです。

まず試してみること

まずプリセットの「凧と矢:太陽」と「ひし形:記事と同じ出発点」を見比べてください。次に「マッチング規則を表示」を押し、円弧がどの辺でも隣のタイルへ途切れずにつながることを確かめます。保存する前に、枠の情報行で仕上がりの大きさと線の太さ(mm)を確認してください。

結果の見方

数表は細分ごとの36°と108°の三角形の個数で、その比は黄金比 φ = 1.618…に近づきます。「回折パターン」は頂点の位置から計算した強度で、角度方向では10次が最も強く出ます。平行移動の実験は1,500通りのずらし方で頂点がどれだけ重なるかを測り、ペンローズ・タイルは100%に届きません。どちらも表示の中心付近の頂点で計算するため、中心から離れた場所に移動して試すと公平です。

次は、何を確かめる?

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ペンローズ・タイルは1,500通りの平行移動でも90.53%しか重ならなかった。周期格子は100%

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